Los ejercicios de la semana 2, hasta ahora
Espacios tangentes en $\mathbb{R}^n$
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Recordemos la definición de espacio tangente en $\mathbb{R}^n$ que manejamos en la clase:
Dado $p \in \mathbb{R}^n$ definimos el conjunto
$$T_p\mathbb{R}^n:= \left\{\gamma \middle | \gamma :(-\epsilon, \epsilon)\rightarrow \mathbb{R}^n, \gamma(0)=p \right\}/\sim_p$$
donde $\gamma_1 \sim_p \gamma_2$ cuando $\dot{\gamma}_1(0)=\dot{\gamma}_2(0)$. Definimos además las operaciones siguientes:
$[\gamma_1]+[\gamma_2]:=[\psi]$ donde $\psi(t):=\gamma_1(t) +\gamma_2(t) -p$ y definimos $\lambda [\gamma]:=[\psi]$ con $\psi(t):= \lambda(\gamma(t)-p)+p$.
- Demuestra que las operaciones antes mencionadas están bien definidas.
- Demuestra que $T_p\mathbb{R}^n$ con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial.
- Sea $\gamma_i$ la curva dada por $\gamma_i(t):= p+ t \hat{e_i}$. Demuestra que los vectores $[\gamma_i]\in T_p\mathbb{R}^n$ forman una base.
- Define la noción de espacio tangente en $p$ a la esfera unitaria $\mathbb{S}^n\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ a partir del conjunto $\left\{\gamma \middle | \gamma:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow \mathbb{S}^n, \gamma(0)=p \right\}$. En particular define la suma de vectores y el producto por un escalar. Finalmente demuestra que $T_p\mathbb{S}^n$ se puede identificar canónicamente con el subespacio vectorial $perp(p):=\{x\in \mathbb{R}^n| \langle x,p\rangle=0\}$
- Análogamente, define la noción de espacio tangente a una subvariedad.
Una referencia útil para estos ejercicios puede ser el capítulo 2 de Introduction to differential topology de Bröcker y Jänich.