Les dejamos aquí los ejercicios de la cuarta semana. Les recordamos que pueden ver los ejercicios del parcial en el pdf.
Haces vectoriales, campos vectoriales y formas diferenciales
Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$. Sea $(U,\phi)$ una carta de $M$.
Denotemos por $ x_i$ a las coordenadas de la función $\phi$, es decir, $\phi(p)= (x_1(p), \ldots, x_n(p))$.
Sea $ \gamma_i(t) $ la curva que pasa por $ p$ dada por $ \gamma_i(t)= \phi^{-1}(\phi(p) +t\hat{e}_i)$
y sea $ \frac \partial {\partial x_i}(p):=[\gamma_i]\in T_pM$ el vector tangente a $ p$ determinado por $ \gamma_i$
- Demuestra que $ \{\frac \partial {\partial x_i}(p) \}_{i=1}^n$ es una base de $ T_pM$.
- Denotemos por $ \{dx_i(p)\}_{i=1}^n$ a la base dual de $ T_p^*M$, dual a la base $ \{\frac \partial {\partial x_i}(p) \}_{i=1}^n$. Demuestra que $ d(x_i)(p)= dx_i(p)$ es decir, la derivada exterior de la función $ x_i$ es igual a el dual de $ \frac \partial {\partial x_i}(p)$.
- Sea $ f:M\rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable sobre $ M$. Demuestra que $ d(f)(p)=\sum_{i=1}^n\frac \partial {\partial x_i}(p)(f) dx_i$ donde $ \frac \partial {\partial x_i}(p)(f)$ es la derivación asociada al vector $ \frac \partial {\partial x_i }(p)$ aplicada a la función $ f$.
- Sean $ f,g\in C^\infty(M)$. Demuestra que $ d(fg)=d(f)g+fd(g)$.
Sean $\partial_i$ los campos vectoriales (en el sentido de derivaciones) dados por
$$
(\partial_i)_p(g)= \frac{\partial g}{\partial x_i}(p)
$$
- Demuestra que $\partial_i$ es un campo vectorial diferenciable en $\mathbb{R}^n$.
- Recuerda que $\Psi_p: T_p \mathbb{R}^n \rightarrow \mathscr{D}_p$ dado por $\Psi_p([\alpha])(g) = (g \circ \alpha)'(0)$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Demuestra que $\Psi_p(\frac{\partial}{\partial x_i}(p)) = (\partial_i)_p$, donde $\frac{\partial}{\partial x_i} = [\alpha_i]$ con $\alpha_i(t) = p + te_i$.
- Sea $X$ un campo vectorial en $\mathbb{R}^n$ (esto es, una derivación $X_p$ en $p$, para cada $p \in \mathbb{R}^n$). Recuerda que demostramos que $\left\{ (\partial_i)_p \right\}_{i=1}^n$ es una base de las derivaciones en $p$ (i.e. $\mathscr{D}_p$) por lo que para cada $p \in \mathbb{R}^n$ podemos expresar a $X_p$ en esta base. Así, existen números $a^i(p) \in \mathbb{R}$ tales que $$ X_p = \sum_{i=1}^n a^i(p) (\partial_i)_p $$ Estos números, al variar de punto a punto, forman funciones $a_i: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. Demuestra que $X$ es un campo vectorial diferenciable si y sólo si las funciones $\left\{ a_i \right\}_{i=1}^n$ son diferenciables.
- Sea $X$ un campo vectorial en la variedad $M$. Demuestra que $X$ es diferenciable si y sólo si para todo $p \in M$ existe carta $(U,\varphi_U)$ alrededor de $p$ tal que $D\varphi_U(X)$ es un campo diferenciable en $\varphi_U(U) \subset \mathbb{R}^n$ en el sentido del inciso anterior.