Ejercicios - Métricas inducidas en subvariedades

Hola!

Aquí les dejamos los ejercicios de métricas inducidas en subvariedades. Recuerden que estos ejercicios tienen como objetivo que repasen los temas que hemos visto de modo muy inconexo a lo largo de estas extrañas semanas. Les instamos a que pregunten en clase, o por correo, en caso de que surgan dudas.

version pdf

Ejercicios:

Recuerden que si $M$ es una variedad riemanniana entonces un subconjunto $S \subset M$ es una subvariedad encajada si para todo $p \in S$ existe una carta $(U, \varphi_U)$ de $M$ tal que $\varphi_U( U \cap S) \subset V \times \left\{ 0 \right\} \subset \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^{n-k}$

Recuerden también que esto le daba una estructura de variedad a $S$ usando las restricciones de $\varphi_U$ a $S$ (y proyectando a las primeras $k$-coordenadas) para conformar un atlas.

Ahora estudiaremos el caso cuando $(M,g^M)$ es una variedad riemanniana. En todo lo que sigue, $S$ es una subvariedad encajada de $M$ y $g^M$ es una métrica riemanniana en $M$.

Demuestra que la función $i: S \rightarrow M$ dada por $i(p) = p$ es diferenciable. Aquí nos referimos a diferenciable cuando a $S$ se le da la estructura de variedad previamente descrita.

Para cada $p \in S$ define la función $i_p: T_pS \rightarrow T_pM$ por $$ i_p(\left[ \alpha \right]) = \left[ i \circ \alpha \right] $$ Demuestra que $i_p$ está bien definida y es una transformación lineal inyectiva. Traduce $i_p$ a la versión de derivaciones.

El ejercicio anterior muestra que podemos pensar a los vectores de $T_pS$ como vectores en $T_pM$. Luego si tenemos un par de vectores en $T_pS$ podemos calcular su producto punto usando la métrica $g^M$.

La métrica inducida en $S$ está dada por $$ g^S_p(v,w) = g^M_p(i(v),i(w)) $$ para todo $p \in S$, $v,w \in T_pS$.

Demuestra que $g^S_p$ es una métrica riemanniana en $S$.

Demuestra que para todo $p \in S$ existe una descomposición $$ T_pM = iT_pS \oplus N_p $$ de tal forma que $g^M_p(v,w) = 0$ para todo $v \in iT_pS$ y $w \in N_p$. Luego todo vector $v \in T_pM$ se pude descomponer de manera única como $v = v^T + v^N$ donde $v^T \in iT_pS$, $v^N \in N_p$ y $$ g^M(v^T,v^N) = 0 $$ (La notación $v^T$ y $v^N$ hacen referencia a que son las componentes tangentes y normales a $S$ de $v$).

Define una transformación lineal $P_p: T_pM \rightarrow T_pS$ tal que $i_p(P_p(v)) = v^T$. Demuestra que $Nuc(P_p) = N_p$ y que si $v,w \in iT_pS$ entonces $$ g^M(v,w) = g^N(P_p(v),P_p(w)) $$

De ahora en adelante evitaremos los subíndices $P_p$ e $i_p$ puesto que suele estar claro en el contexto el punto de referencia. Notemos que la $P$ definida anteriormente se puede interpretar como la proyección ortogonal de los vectores en $T_pM$ en los vectores de $T_pS$.

Sean $X,Y \in \mathfrak{X}(S)$ y $\tilde X, \tilde Y \in \mathfrak{X}(S)$ tales que $\tilde X \big|_S = iX$ y $\tilde Y \big|_S = iY$. Demuestra que es posible calcular los corchetes de Lie en $S$ como $$ [X,Y] = P([\tilde X, \tilde Y]) $$

Sea $\nabla$ cualquier conexión en $M$. Podemos definir la conexión inducida en $S$ de la siguiente manera

La conexión inducida en $S$ está dada por $$ \nabla^S_X Y = P( \nabla_{\tilde X}\tilde Y) $$ donde $\tilde X$ y $\tilde Y$ son cualesquiera campos en $M$ tales que $\tilde X \big|_S = iX$ y $\tilde Y \big|_S = iY$.

Demuestra que $\nabla^S$ es una conexión en $S$.

Demuestra que si $\nabla$ es una conexión libre de torsión en $M$ entonces $\nabla^S$ es libre de torsión.

Demuestra que si $\nabla$ es una conexión en $M$ compatible con la métrica entonces $\nabla^S$ es compatible con la métrica inducida $g^s$.

Usando los últimos resultados calcula la conexión en $\mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$.