Proyectos
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Parcial 1
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Parcial 2
Introducción a grupos de Lie y métricas bi-invariantes
Resumen
En este proyecto se desarrollan los conceptos básicos de grupos de Lie. Se presenta la definición de grupo y álgebra de Lie. Así mismo, se estudia la relación entre subgrupos a un parámetro de un grupo de Lie y los campos vectoriales invariantes a izquierda. En la última sección se estudian ciertas propiedades geométricas de grupos de Lie dotados de una métrica Riemanniana que es compatible con la operación del grupo de una manera natural. PDF
Introducción a la teoría de Morse y el teorema de clasificación de superficies
Resumen
El objetivo de este proyecto es brindar una introducción guiada a la teoría de Morse. La teoría de Morse estudia el comportamiento genérico de funciones diferenciables cerca de sus puntos singulares. En gran medida, el éxito de la teoría de Morse radica en que las funciones de Morse son suficientemente abundantes como para que sean útiles, y a la vez tienen un comportamiento suficientemente sencillo como para que sea posible estudiarlas a detalle. Una de las aplicaciones más clásicas e importantes de la teoría de Morse es a la topología de variedades: se puede demostrar que toda variedad compacta admite funciones de Morse, y dichas funciones proveen de una descomposición de la variedad en «pedazos» relativamente sencillos. Los objetivos particulares de este proyecto son demostrar el lema de Morse en dimensión 2 y utilizar algunos otros resultados para dar una demostración del teorema de clasificación de superficies. PDF
Álgebra conmutativa y teoría de singularidades
Resumen
En este proyecto se estudian de manera somera ciertos conceptos de álgebra conmutativa como: álgebra, ideal, álgebra cociente y algebra de polinomios, ideales maximales y campos. Posteriormente se especializarán dichos conceptos al caso del álgebra de gérmenes de funciones en una variedad. PDF